Логические задачки

[dmart]

Ushwood, похоже, мы по-разному воспринимаем начальное и конечное положение паука. Уточняю постановку: высота амбара не 22 метра, а квадраты 5x5 - не пол и потолок, а торцевые стенки (на которых и находятся начальная и конечная точки путешествия паука).

[Ushwood]

Можно и так.
При таком раскладе, однако, путь по прямой (через пол или потолок) оказывается чуть короче: 4+22+1=27 метров.
А если наискосок через стенки, то координаты будут (2.5, 4) и (29.5, 1), длина пути Sqrt(27*27+3*3)=sqrt(738), что составляет примерно 27.17 метра.

[Lady Astrel]

При таком раскладе, однако, путь по прямой (через пол или потолок) оказывается чуть короче: 4+22+1=27 метров.

Но тогда паучок окажется на той же стенке, только в другом углу, нет?

[Ushwood]

Lady Astrel, не-не. 4 метра вертикально вниз, 22 метра по полу и 1 метр по противоположной стене вверх.

[Lady Astrel]

Ushwood, 22 м - это что, длина диагонали основания (пола амбара) или длина стороны основания?
А, здесь он не в углу сидит... Тогда да, согласна.

[dmart]

Кратчайший путь пока не найден...

[Ushwood]

Кратчайший путь пока не найден...

это ненадолго
Кратчайший (я надеюсь ) путь составляет 26 метров. Пауку надо ползти из начальной точки вверх-вбок под углом arctg(5/12) к вертикали, переползти на потолок, ползти по потолку под тем же углом к продольной оси амбара, затем по боковой стене, затем по полу и наконец по противоположному торцу в точку назначения. Если "развернуть" в плоскость две длинные стены, пол и потолок амбара, то маршрут паука будет гипотенузой прямоугольног треугольника (10, 24, 26).

[dmart]

Ushwood, верно.

[Ushwood]

Вот занятная геометрическая задачка.

Дан равносторонний треугольник с площадью 1. Его стороны разделены надвое в соотношении 1:2 и точки деления соединены с противоположными вершинами, как показано на чертеже.
Найти площадь внутреннего равностороннего треугольника.

Комментарий к задачке. Мне ее дали, когда я учился в 11 классе. Я тогда сказал: типа, что такого? щас я ее долбану всей мощью школьного курса тригонометрии и живо найду все возможные стороны, углы и площади. На что получил ответ: задачка рассчитана на среднюю школу и решается без привлечения "всей мощи школьного курса тригонометрии". Я тогда нашел очень простое и красивое решение (правда, совсем без тригонометрии обойти не удалось); а позже нашел еще одно, подлиннее, но без тригонометрии совсем. Впоследствии, уже в институте, я дал эту задачку одногруппникам, и один из них нашел еще одно решение, также без тригонометрии.
Интересно, какое из этих решений найдете вы. А может, отыщете четвертое?

[dmart]

Дан равносторонний треугольник с площадью 1. Его стороны разделены надвое в соотношении 1:2 и точки деления соединены с противоположными вершинами, как показано на чертеже.
Найти площадь внутреннего равностороннего треугольника.

Введем систему координат: ось X - из левого нижнего угла вправо, ось Y - оттуда же вдоль другой стороны треугольника. Что эта система непрямоугольная - не страшно, прямоугольность нам ни в каком месте не понадобится. Пусть сторона исходного треугольника - a.
Найдем координаты самой правой вершины маленького треугольника - точку пересечения наклонных линий, проведенных из начала координат и из правого нижнего угла исходного треугольника. Первая линия проходит через (0,0) и (2a/3,a/3), значит, ее уравнение y=x/2. Вторая проходит через (0,2a/3) и (a,0) - ее уравнение y=2*(a-x)/3. Находим точку пересечения - x/2=2*(a-x)/3, 3x=4a-4x, 7x=4a, x=4a/7, y=2a/7. Теперь мы можем определить высоту треугольника, образованного нижней стороной исходного и наклонными линиями. Длина отрезка, проведенного из вершины построенного треугольника до основания, параллельно оси Y, как мы выяснили, 2a/7, угол между этим отрезком и основанием - 60 градусов, значит, высота - a*sqrt(3)/7, а площадь - a*a*sqrt(3)/14=2/7 (тут мы вспоминаем, что площадь большого треугольника a*a*sqrt(3)/4 равна единице).
Заключительный шаг - если с каждой стороны исходного треугольника отрезать треугольник, построенный вышеописанным образом, то как раз и останется маленький равносторонний треугольник, площадь которого требуется найти: 1-3*2/7=1/7.

Добавлено спустя 39 минут 15 секунд:
Кстати, возникло подозрение, что равносторонность исходного треугольника - избыточное условие. Площадь отрезаемого треугольника в любом случае 2/7, синус угла между осями сокращается.

[Ushwood]

Хех. Нашел-таки четвертое .
Решение занатное, но, разумеется, не школьное (в школе с аффинными координатами работать не учат). И не самое простое.

Ответ правильный, но предлагаю поискать еще решения .

[dmart]

Хех. Нашел-таки четвертое .
Решение занатное, но, разумеется, не школьное (в школе с аффинными координатами работать не учат).

Все то же самое можно изложить и на векторном языке, который вполне школьный. Точка с координатами (a,b) эквивалентна вектору a*x+b*y, где x и y - единичные векторы, отложенные вдоль осей.
Задачку типа "в треугольнике ABC сторона AB поделена точкой M в отношении 3:4, а BC - точкой N в отношении 3:5. В каком отношении точка пересечения CM и AN делит отрезок AN" мне в свое время дали в 8 классе на областной олимпиаде. Тогда я с ней не справился, но и до сих пор альтернативой координатному методу для ее решения вижу только применение теорем Чевы и Менелая, которые уж тем более не школьные.
Впрочем, если заметить, что задачка действительно аффинная, т.е., в ней ничего не меняется при линейной деформации исходного треугольника, можно сделать его прямоугольным и работать в декартовых координатах.

Добавлено спустя 24 минуты 23 секунды:
Кстати, как уж в школе доказывается, что график линейной функции - прямая?

[Ushwood]

Задачку типа "в треугольнике ABC сторона AB поделена точкой M в отношении 3:4, а BC - точкой N в отношении 3:5. В каком отношении точка пересечения CM и AN делит отрезок AN" мне в свое время дали в 8 классе на областной олимпиаде. Тогда я с ней не справился, но и до сих пор альтернативой координатному методу для ее решения вижу только применение теорем Чевы и Менелая, которые уж тем более не школьные.

Плохо
Потому что задачка эта именно что школьная, причем по геометрии, а не по алгебре .
Вот как она решается (я конкретно эту твою имею в виду).
Через вершину В проводится прямая, параллельная основанию АС. Прямые AN и СМ продолжаются до пересечения с этой прямой, точки пересечения обозначим L и К соответственно (а точка пересечения АN и СМ - О).
Теперь смотри сюда.
(1) Треугольники АМС и ВМК подобные, коэффициент подобия 4:3. Если сторону АС обозначить за а, то ВК=4/3*а.
(2) Треугольники ANC и LNB подобные, коэфф 3:5, отсюда BL=3/5*a, KL=BK+BL=29/15*a. Кроме того, фиксируем, что AN/NL=5:3.
(3) Треугольники АОС и LOK опять-таки подобные, коэффициент, очевидно, 29/15; стало быть, АО/OL=15:29.
Далее дело техники. Если длину отрезка AL обозначить за 88b, то из (2) мы находим NL=33b, а из (3) AO=30b. Отсюда ON=25b и AO/ON=6:5.
Как видишь, решение простое, использует ТОЛЬКО свойства подобных треугольников.

Разумеется, моя предыдущая задача решается аналогично, только там достаточно продолжить одну прямую (например, СМ), а не две. Поскольку треугольник равносторонний, мы дополнительно получаем, что самый маленький из образовавшихся треугольников подобен тому, который каждая из трех прямых отсекает от исходного и у которого площадь 1/3. Достаточно найти коэффициент подобия, и задача будет решена.

[dmart]

Лоханулся. Такое плодотворное дополнительное построение почему-то в голову не пришло...

[dmart]

Возможен ли полет с Земли на Луну со скоростью обычного самолета - 800 км/ч? Ответ обоснуйте.
Если кого-то смущает, что орбитальная скорость Луны 1 км/с, из-за чего посадка будет, мягко выражаясь, жесткой - хорошо, пусть посадки не будет. Облететь, посмотреть на обратную сторону и вернуться.

[Ushwood]

Возможен ли полет с Земли на Луну со скоростью обычного самолета - 800 км/ч? Ответ обоснуйте.

Да, возможен.
Алгоритм следующий: а) разгоняем ракету до 800 км/ч в нужном направлении (предварительно рассчитанном); б) поддерживаем постоянную тягу, сила которой уравновешивает равнодействующую силы притяжения Земли, силы притяжения Луны и силу сопротивления атмосферы Земли; в) согласно первому закону Ньютона движемся равномерно и прямолинейно...
...а всякая лабуда насчет первой-второй-третьей космических скоростей верна только при движении по баллистическим траекториям, без работы двигателя

[dmart]

Ushwood, рассуждение принимается. Тогда следующий вопрос: оценить расход керосина и жидкого кислорода на полет в таком режиме.

[dmart]

Хотя бы очень грубую оценку снизу, которая, тем не менее, изменит ответ на противоположный. И приведет к выводу, что разгон до второй космической, к сожалению, не лабуда, а необходимость для настоящего времени и сколько-нибудь обозримого будущего.

Добавлено спустя 1 час 26 минут 46 секунд:
Вот еще задачка.
Струна, натянутая просто так, звучит очень тихо. Струна на гитаре - значительно громче. Откуда во втором случае берется энергия для более громкого звучания?
Гитара, естественно, акустическая, так что ответ "из розетки" не принимается.

[Ushwood]

Очень грубая оценка снизу: расход офигенный.
Что сейчас и в обозримом будущем это нереально, ясно и так. Но в условии задачи изначально этого не было .

Добавлено спустя 19 минут 5 секунд:
Впрочем, можно попробовать и серьезно.
Пренебрежем сопротивлением атмосферы, притяжением Луны и конечным временем разгона до 800 км/ч. Также пренебрежем тем, что масса ракеты включает в себя и массу топлива (это последнее очень неправильно, в чем мы убедимся на выходе - но мы же ищем НИЖНЮЮ оценку ).
На корабль массой 1 тонна у поверхности Земли действует сила тяжести 10000 ньютонов, или 10000 кг*м/с за секунду. Ровно такой должна быть и тягловая сила. Принимая скорость истечения реактивной струи за 5000 м/с, получаем расход топлива у Земли 2 кг/с. Конечно, в полной мере такой расход можно учитывать на протяжении первых нескольких тысяч км (дальше сила тяжести существенно уменьшится и расход топлива тоже). Допустим для простоты 4000 км, это 5 часов или 18000 секунд. Итого расход топлива 36 тонн.
Разумеется, поскеольку изначально надо двигать не только 1 тонну корабля, но и 36 тонн топлива, реальный расход будет НАМНОГО выше. Но чтобы это корректно посчитать (а заодно корректно учесть уменьшение силы тяжести), надо уже лезть в дифференциальные уравнения, а мне сейчас лень . Как-нибудь позже, может быть.

[Lady Astrel]

dmart, Ushwood, в очередной раз обращаю ваше внимание на то, что подобные задачи под категорию "логические" не подпадают!

[Ushwood]

Lady Astrel, прошу пардону.
А задачи по математике подпадают? Если да,то вот одна хорошая: разместить на плоскости семь точек так, чтобы среди любых трех из них нашлись две, расстояние между которыми было бы равно 1.
Чтобы было понятнее - пример решения аналогичной задачи с 6 точками: их надо расположить в виде двух равносторонних треугольников со стороной 1.

ЗЫ. Может, проще тему переименовать? Просто чтоб не дробить на кучу мелких: задачки такие, задачки сякие... так же удобнее...

[dmart]

Ushwood, такая нижняя оценка не очень-то пугает. 36 тонн, что такого.
Я бы оценивал простым сравнением времени работы двигателей, при традиционном запуске и так. При традиционном запуске - это от силы 3 минуты, а при предложенном - десятки часов. Даже если пренебречь разницей во взлетном весе - получаются сотни тысяч тонн, а если попытаться и ее учесть - то как бы не сотни миллионов. То есть, оценка "офигенный" абсолютно точна.
Lady Astrel, так других же нет. А что такого, нормально мозги тренируем...

[Ushwood]

При традиционном запуске - это от силы 3 минуты, а при предложенном - десятки часов.

Не вполне корректное рассуждение - львиную долю этих "десятков часов" корабль пройдет при крайне малой силе тяжести и потому двигатель будет практически простаивать. Я в своем рассуждении приближенно (ну очень приближенно) учел это обстоятельство, рассмотрев расстояние 4000 км вместо полных 480000. Иначе и у меня бы в 100 раз больше получилось топлива .

Добавлено спустя 37 минут 58 секунд:
Ради прикола подсчитал. Та оценка у меня получилась, прямо скажем, сильно заниженная . ОЧЕНЬ сильно заниженная.

Итак. Пусть масса корабля m(t), координата корабля x(t)=R+V*t, где R - радиус Земли, V - постоянная скорость корабля. Сила тяжести (равная, как мы помним, тягловой силе корабля), равна m(t)*g(t), где g(t)=g0*(R^2)/(x(t))^2. Поскольку тягловая сила есть скорость истечения реактивной струи v0, помноженная на расход топлива -dm(t)/dt, то получаем простенькое дифференциальное уравнение dm/dt=-m(t)*g0*(R^2)/v0/(R+V*t)^2.
Решив его (если я только где-то не напутал ) и подставив пределы интегрирования по времени t=0 и t=t1 (время прибытия) и по массе m=m0 и m=m1 (конечная масса, она же чистая масса корабля), получаем решение: m0=m1*exp(g0*R*t1/v0/(R+V*t1)).
Подставляем величины (все в СИ): g=10; R=6.4e6; v0=5000; V=220 (перевод 800 км/ч в м/с); t1=2e6 (для удобства я взял расстояние до Луны 440000 км); R+V*t1=4.4e8. Получаем m0=m1*exp(58) или примерно 1.5e25 тонны топлива на тонну рабочей массы .

...пожалуй, ответа "офигенно много" было вполне достаточно

[dmart]

Lady Astrel, прошу пардону.
А задачи по математике подпадают? Если да,то вот одна хорошая: разместить на плоскости семь точек так, чтобы среди любых трех из них нашлись две, расстояние между которыми было бы равно 1.

Можно, например, так. 4 точки (назовем из A, B, С и D) разместим в вершинах ромба с углом DAB 60 градусов и стороной 1. Повернем этот ромб вокруг точки A на такой угол, чтобы расстояние СС' было равно 1, в его вершинах разместим оставшиеся 3 точки. Из точек A, B, B', С, C', D, D' никак не удастся выбрать 3 так, чтобы все они были друг от друга на расстоянии, не равном 1.
Никакой логики, получено кручением-верчением двух треугольников из решения для 6 точек и поиском, куда бы приткнуть седьмую точку - на расстоянии 1 от максимально возможного количества имеющихся точек.
Доказать единственность решения пока затрудняюсь.

Добавлено спустя 2 минуты 35 секунд:

При традиционном запуске - это от силы 3 минуты, а при предложенном - десятки часов.

Не вполне корректное рассуждение - львиную долю этих "десятков часов" корабль пройдет при крайне малой силе тяжести и потому двигатель будет практически простаивать.

Десятки часов - я имел в виду, конечно, не до Луны, а до того места, где сила тяжести станет "крайне малой". Но забавно, что оценка снизу, заниженная, как выяснилось, более чем на десяток порядков, оказалась, тем не менее, качественно верной.

[Ushwood]

Да, с точками - правильное решение. Именно то, которое и я знаю.
Другие вряд ли есть...